2 ligninger med 2 ubekendte

Ligesom vi løser en ligning med en ubekendt, så er det også muligt at løse to ligninger med to ubekendte. Hertil findes der grundlæggende 3 forskellige metoder:

1.      Determinantmetoden

2.      Substitutionsmetoden

3.      Lige store koefficienters metode

Determinantmetoden er en formelmetode, hvor man blot skal sætte ligningernes koefficienter ind i en løsningsformel. Dette kræver dog at man har et kendskab til vektorer. Substitutionsmetoden og lige store koefficienters metode er begge metoder/ strategier til at løse to ligninger med to ubekendte, som ofte er hurtigere at anvende, end hvis man taster koefficienterne ind i determinant metodens løsningsformel. De forskellige metoder gennemgåes i denne opgave for sig i ovennævte rækkefølge.

Determinantmetoden

Først betragtes et ligningssystem med 2 ligninger og tilhørende 2 ubekendte:

 

Da skrives ligningssystemet om til én vektor ligning således

Da kan man finde værdierne af x og y ved brug af løsningsformlerne

Disse bevises i artiklen. En guide til bestemmelse af determinanterne findes i vores artikel om vektorer – determinanter.

Substitutionsmetoden

Substitution betyder erstatning og denne metode til løsning af 2 ligninger med to ubekendte, går simpelthen ud på, at isolere den ene ubekendte i den ene ligning, og derefter substituere dette udtryk ind i den anden ligning. Metoden er forholdsvis simpel og den er i mange tilfælde betydeligt hurtigere at anvende end determinantmetoden.

Eksempel

Givet er to ligninger med de ubekendte x og y:

Først isoleres x i den øverste ligning:

Udtrykket for x substitueres ind i den nederste ligning. Herved isoleres og bestemmes y, hvorefter x kan bestemmes:

Det virker måske, med alle disse trin, som om metoden er langtrukken og en smule besværlig, men så snart man har princippet på plads så kan man, med en smule erfaring, ofte løse to ligninger med to ubekendte forholdsvis hurtigt.

Lige store koefficienters metode

Metoden går i princippet blot ud på, at gange den ene af de to ligninger med et eller andet tal, så koefficienterne foran x (eller y) er lige store i begge ligninger. Herefter kan man jo så isolere koefficienten og den ubekendte, hvorefter dette udtryk substitueres ind i den anden ligning. Princippet kan skitseres således:

Givet er to ligninger med to ubekendte:

Vi definerer nu tallet k, som forholdet a2 divideret med a1:

Vi ønsker den samme koefficient foran x i begge ligninger, så vi ganger nu med k på begge sider af lighedstegnet i ligning 1:

Da der nu står samme koefficient foran x i begge ligninger, kan vi isolere dette led i den ene ligning og dermed eliminere x i den anden ligning:

Den nederste ligning (2) er nu blot et udtryk for den ubekendte y. Tallene k, c1, c2, b1 og b2 jo blot tal, så der kan man simpelt bestemme en talværdi for y. Herefter kan man så isolere x i en af de to ligninger og indsætte værdien for y. Derved kan man bestemme begge ubekendte i ligningerne. I denne gennemgang har desuden brug en form for substitutions metode

Eksempel:

Vi ser på ligningerne

Hvert led i nederste ligning divideres med 2 (k=1/2), så koefficienterne foran x er lige store i begge ligninger:

Dernæst isoleres x i den nederste ligning så

Nu indsættes udtrykket for x den nederste ligning i den øverste

Den øverste ligning har nu kun en variabel.  Da udregnes værdien for y (dette gøres i flere trin):

Værdien for y indsættes nu i den nederste ligning, så vi kan bestemme en værdi for x:

Vi har altså nu fundet et udtryk for både x=-3/4 og y=7/4. 



Foreslå forbedring til artiklen